martes, 11 de febrero de 2014

TEOREMA DE PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

"En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos."

DEMOSTRACIONES:

El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

Fuente:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

TEOREMA DE THALES DE MILETO

Existen dos teoremas en relación a la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

LOS DOS TEOREMAS DE TALES:

El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos y sus lados homólogos proporcionales"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.

PRIMER TEOREMA:

Es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, al saber, que:

"Si un triángulo se traza una linea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado."

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

SEGUNDO TEOREMA:

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

"Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo."

Este teorema, es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Fuente:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales

TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.
La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.
La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

Criterios de semejanza.

1.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

2.-Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

3.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

Fuentes:
http://www.ditutor.com/geometria/triangulos_semejantes.html

TEOREMAS DE TRIÁNGULOS CONGRUENTES

Una de las congruencias de dos triángulos se establece cuando se comparan todas las partes

correspondientes en ambos triángulos.

Criterios de congruencia de triángulos.

Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.

Primer criterio de congruencia: LLL
Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
a ≡ a’
b ≡ b’
c ≡ c’

Segundo criterio de congruencia: LAL

Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.
b ≡ b’
c ≡ c’
α ≡ α’

Tercer criterio de congruencia: ALA

Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.
b ≡ b’
α ≡ α’
β ≡ β’

Cuarto criterio de congruencia: LLA
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes.
a ≡ a’
b ≡ b’
β ≡ β’

Fuentes:
http://www.roberprof.com/2009/08/31/criterios-de-congruencia-de-triangulos/

TEOREMAS Y CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Un triángulo es la figura cerrada formada por la unión de 3 segmentos de recta (lados), cuyos extremos (vértices), son puntos no colineales.

TEOREMAS BÁSICOS:

La suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 180°.
La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los 2 ángulos interiores más lejanos a éste ángulo exterior.
A mayor lado se opone mayor ángulo, y a mayor ángulo se le opone mayor lado (correspondencia de lados).
La longitud de uno cualquiera de sus lados es menor que la suma de los otros y la vez mayor a la diferencia posible de estos mismos lados (existencia triangular).

CLASIFICACIÓN:

Los triángulos se pueden clasificar según la medida de sus ángulos, o de sus lados.

CLASIFICACIÓN SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS.

Triángulo equilatero

Triángulo equilatero: Es aquel que tiene todos sus lados de la misma medida.

Triángulo isósceles: Es aquel que tiene solo dos lados de la misma medida.

Triángulo escaleno: Tiene todos sus lados de distinta medida.

CLASIFICACIÓN SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS.

Triángulo acutángulo: Es aquel que tiene todos sus ángulos agudos.

Triángulo rectángulo: Es el que tiene un ángulo recto.

Triángulo obtusángulo: Es el que tiene un ángulo obtuso.

Fuentes:
http://www.slideshare.net/mathnews/tringulos-clases-tipos-y-teoremas
http://www.escolares.net/geometria/clasificacion-de-triangulos/

lunes, 10 de febrero de 2014

TEOREMAS DE RECTAS PARALELAS.

Teoremas:

Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos interiores en el mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.
Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes.
Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos exteriores son congruentes.
Si dos rectas se cortan por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.
Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los angulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios.

Fuentes:
http://elartedelageometria.blogspot.mx/2011/02/teoremas-sobre-rectas-paralelas.html

TEOREMAS Y CLASIFICACIÓN DE LOS TIPOS DE ÁNGULOS.

Teorema de ángulos:

Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro.
Los ángulos básicos del triángulo isósceles son iguales.
Los ángulos opuestos por el vértice que forman al cortarse una recta son iguales.
Si dos ángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son iguales a los del otro triángulo, ambos triángulos son congruentes.
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.